Una tablilla babilónica guardada en el Universidad de Columbia, conocida por el número de catálogo Plimpton 322 ejemplifica perfectamente el conocimiento por los babilonios del Teorema de Pitágoras, más o menos MIL AÑOS ANTES DE QUE PITÁGORAS SIQUIERA LO IMAGINASE EN GRECIA
Esta tablilla data del período babilónico antiguo o época amorita (h.1900 a 1600 a.C.). Es tan sólo el fragmento de una tablilla más grande, ahora perdida para siempre, y demuestra no ser un simple registro de transacciones comerciales como muchas de los documentos babilónicos sino un texto matemático precusor de ideas trigonométricas muy cercanas a las actuales, que el matemático griego Pitágoras se atribuyó falsamente, unos cálculos con un extraordinario grado de exactitud, como se puede ver abajo.
Hay que tener en cuenta antes de empezar a desentrañar la tablilla que los babilonios utilizaban la numeración sexagesimal, por lo que debemos convertir las cifras a nuestra numeración antes de cualquier intento.
Tomemos la sexta línea, por ejemplo:
1,47,6,41,40________5,19______8,1______6
Tras la conversión en decimal obtenemos:
1,785192901_______319________481________6
La conversión se realiza de la siguiente forma:
1,47,6,41,40=1·600+47·60-1+6·60-2+41·60-3+40·60-4=1,785192901
y de la misma forma los siguientes números.
Conocer tal relación en una época tan temprana sería extraño, si no se supiese la extraordinaria formación de los antiguos matemáticos mesopotámicos, algo que se quiere ignorar, pretendiendo que "toda la ciencia comenzó en Grecia".
Esta tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.
Pues bien: la relación en la Plimton 322 es la siguiente.
Esta tablilla es una más entre un sinnúmero de ellas que recogen cifras sin mayor interés matemático, que bien pudieran ser registros contables de mercancías.
Pues bien: la relación en la Plimton 322 es la siguiente.
Si tenemos un triángulo rectángulo (ver figura) cuya hipotenusa valga 481 y uno de sus catetos 319, entonces el otro cateto, mediante el teorema de Pitágoras vale 360.
El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.
Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error.
Por otro lado, se obseva que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.
Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.
Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También se ha supuesto siempre que desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante.
¿Se puede mantener que existía tal desconocimiento a la luz de esta tablilla?
Pues sí se puede. Pero "poner en duda".
Parece ser que sin conocer el "Teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas mil años después conocidos como "ternas pitagóricas": ternas de números enteros a,b,c que cumplían las condiciones a2=b2 + c2.
Los escritores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p, q , para hallar la terna (p2-q2, 2pq , p2+q2). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.
Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.
En la Plimpton 322 aparecen las 15 primeras. Quizás el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.
El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45o hasta 31o.
Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores, una de las tablillas babilónicas más extraordinarias.
Una muestra de la considerable exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.
Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los errores y las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.
Sobre este punto podemos indicar que existen dos teorías sobre la interpretación de los contenidos en la tablilla Plimpton 322 (1900-1600 a.C.): una, defendida por Neugebauer y otra la de Bruíns . Ambas intentan desvelar la fórmula que daría con las ternas pitagóricas.
Finalmente, en el año 1954 Neugebauer y Sachs publicaron en Mathematical cuneiform text, el desciframiento de la tablilla (Plimpton 322) .
En ella aparecen enumerados los triángulos rectángulos con lados cuya medida sea un número entero, o sea, los tríos de números pitagóricos x2 + y2 = z2.
La reconstrucción del método de su elección conduce, aparentemente, a las fórmulas: x = p2 – q2 ; y = 2pq ; z = p2 + q2, conocidas en la Teoría de los Números como diofánticas.
Pitágoras encontró para un número inicial impar “a”, fórmulas para desarrollar su teorema: “la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado”. ( a2 + b2 = c2 )
El cociente entre la hipotenusa y este último cateto es 481/360= 1,33611111, y su cuadrado vale 1,785192901; exactamente hasta el noveno decimal la primera cifra de la primera fila de la tablilla.
Varias cosas hay que comentar llegados a este punto: la primera es que tal exactitud nos sirve para rechazar cualquier procedimiento de medida real de triángulos para llegar al dato: su hallazgo debe ser teórico sin lugar a dudas: no es posible medir hasta la milmillonésima sin error.
Por otro lado, se obseva que el cociente cuyo cuadrado es el número de las primeras columnas es el cociente de dos números, uno de los cuales (la hipotenusa) está en la tablilla, pero el otro no. En efecto, es el cateto restante el que aparece en la tablilla, no el utilizado para el cociente.
Dicho cociente es el inverso del coseno del ángulo que forma la hipotenusa con el cateto que no aparece en la tabla. Por tanto, la primera columna representa los valores del cuadrado de la secante del ángulo citado.
Nosotros sabemos encontrar el cateto restante, dadas la hipotenusa y un cateto mediante el Teorema de Pitágoras, pero presumiblemente los babilónicos lo desconocían. También se ha supuesto siempre que desconocían lo que era un seno, una tangente o una secante.
¿Se puede mantener que existía tal desconocimiento a la luz de esta tablilla?
Pues sí se puede. Pero "poner en duda".
Parece ser que sin conocer el "Teorema de Pitágoras, se conocían los valores de ciertas mil años después conocidos como "ternas pitagóricas": ternas de números enteros a,b,c que cumplían las condiciones a2=b2 + c2.
Los escritores de esta tabla debieron comenzar por dos números sexagesimales p, q , para hallar la terna (p2-q2, 2pq , p2+q2). Un simple ejercicio de álgebra nos convence de que en efecto ésta es una terna pitagórica.
Limitándose a valores de p menores de 60, y a triángulos rectángulos en los que b= p2-q2es menor que c=2pq, los babilonios debieron descubrir que existían 38 pares posibles de p y q que satisfacen las condiciones, con lo que construyeron las 38 ternas correspondientes.
En la Plimpton 322 aparecen las 15 primeras. Quizás el escriba prosiguiera en otra tablilla con las restantes.
El orden de las filas viene dado por los valores de la primera columna, de mayor a menor, y corresponden a ángulos desde 45o hasta 31o.
Esta que ahora nos ocupa es, a juicio de los investigadores, una de las tablillas babilónicas más extraordinarias.
Una muestra de la considerable exactitud de los cálculos de esta tablilla nos la proporciona la fila décima. Una simple observación de la ilustración de la tablilla basta para comprobar que el primer número de la décima tablilla tiene más dígitos que los demás; efectivamente representa el cuadrado de la secante del ángulo correspondiente con ocho cifras sexagesimales, lo que corresponde a catorce decimales en nuestra notación decimal. Todos ellos correctos.
Ni la Nasa necesita ese nivel de exactitud en sus cálculos de órbitas, pues los errores y las indeterminaciones de todo tipo son de mayor entidad.
Sobre este punto podemos indicar que existen dos teorías sobre la interpretación de los contenidos en la tablilla Plimpton 322 (1900-1600 a.C.): una, defendida por Neugebauer y otra la de Bruíns . Ambas intentan desvelar la fórmula que daría con las ternas pitagóricas.
Finalmente, en el año 1954 Neugebauer y Sachs publicaron en Mathematical cuneiform text, el desciframiento de la tablilla (Plimpton 322) .
En ella aparecen enumerados los triángulos rectángulos con lados cuya medida sea un número entero, o sea, los tríos de números pitagóricos x2 + y2 = z2.
La reconstrucción del método de su elección conduce, aparentemente, a las fórmulas: x = p2 – q2 ; y = 2pq ; z = p2 + q2, conocidas en la Teoría de los Números como diofánticas.
Pitágoras encontró para un número inicial impar “a”, fórmulas para desarrollar su teorema: “la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado”. ( a2 + b2 = c2 )
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